2.5. Модели в прикладных исследованиях

1. Модели решения проблем

Необходимость использования моделей возникает, когда получение решений (эксперимент) на реальном объекте дорого, сложно или вообще невозможно. Время на разработку модели и получение решения с ее помощью не должно быть также больше времени существования проблемы. Меньшая сложность модели по сравнению с реальной ситуацией или объектом, достигается тем, что модель описывает только отдельные элементы, связи и функции реального объекта, которые влияют на принимаемое решение. Сложность моделирования заключается в том, чтобы правильно определить наиболее важные (релевантные) в данном случае факторы и описать их влияние.

Модель называется абстрактной (концептуальной), либо материальной (физической) в зависимости от того какой системой она представлена, т.е. от выбора средств моделирования. Абстрактной моделью может быть, в частности, система математических выражений, описывающих характеристики объекта моделирования и взаимосвязи между ними - математическая модель. Модели с конкретными числовыми значениями характеристик называют числовыми моделями. Графические модели - графики, диаграммы, рисунки.

Модели, при построении которых преследуется цель определения такого состояния объекта, которое является наилучшим в каком-либо смысле или доступным, называются нормативными. Модели, предназначенные для объяснения наблюдаемых факторов или прогноза поведения объекта, называются дескриптивными. Иначе говоря, нормативные модели отвечают на вопрос "Как должно быть?", дескриптивные модели - на вопрос "Как это происходит?, Как это будет развиваться?".

Использование нормативных моделей для принятия решений предопределяется в основном двумя ситуациями в поиске стратегии использования ресурсов: или наиболее эффективной - максимально выгодное решение поставленной задачи при имеющихся ресурсах, или наиболее экономичной - достижение поставленной задачи при минимальных затратах ресурсов. (max продукции при min затрат - экономическая и математическая патология, даже если об этом говорит К. Маркс)

В большинстве разработанных методов получения количественных решений в ИО лежит идея использования математических моделей оптимизации.

Оптимальными называются наилучшие по определенному критерию из всех допустимых решений или альтернатив для достижения цели системы.

В зависимости от поставленной цели и сложности ситуации, оптимизационные модели могут представлять собой очень сложные математические описания. Однако в основе всех моделей лежит сравнительно простая структура. Все математические модели принятия решений имеют вид уравнения, в котором общий критерий функционирования (критерий оптимизации) всей системы в целом (y) приравнивается некоторому соотношению (f), связывающему между собой множество управляемых (xi) и неуправляемых (xj) переменных, определяющих поведение системы:

y = f(xi, xj).

В общем, виде это выражение (модель математической модели) может представлять систему аналитических или статистических уравнений или неравенств.

Критерий оптимизации (критерий эффективности) - y представляет собой количественную оценку (меру) достижения цели системы.

Следует различать критерии технической и экономической эффективности.

Техническую эффективность измеряют, вычисляя отношение вход/выход в физических единицах. Так, если фермер получает 1 кг прироста живой массы свиньи от каждых 3 кг корма, то его производство технически более эффективно, чем у фермера, которому для тех же целей требуется 3,2 кг корма.

При оценке экономической эффективности используют соотношение вход/выход в финансовых единицах. В частных случаях, вместо того, чтобы подсчитывать например все затраты на производство свинины, с выпуском соотносят стоимость рассматриваемого в данном случае фактора - кормов. Может оказаться, что второму фермеру, из рассмотренного выше примера, корма обходятся дешевле, чем первому, и в экономическом отношении его хозяйство может быть более эффективно. (Но можно и нужно продолжить, если у первого фермера кг привеса содержит 0,2 кг сала по 15 руб/кг, а остальное мясо (хорошо, пусть с костями), но по 40 руб/кг, а у второго - обратная структура, то вывод об эффективности будет снова в пользу первого фермера.)

В зависимости от решаемой задачи критериями оптимизации могут быть показатели минимизирующие затраты ресурсов - трудоемкость, себестоимость или максимизирующие результаты - прибыль, урожайность и т.д. При обосновании критерия эффективности необходимо учитывать как характер решаемой проблемы и специфику производства, так и ограниченность различных критериев. В большинстве обычно применяемых критериев не учитывают качество продукции и используемых ресурсов. Например, в сельском хозяйстве показатель производительности труда измеряют делением общих трудозатрат на продукцию животноводства или растениеводства. Ограниченность использования такого критерия обусловлена тем, что он не учитывает связь с другими факторами - с качеством земли, продуктивностью животных, планировкой зданий и уровнем механизации. Решения, относящиеся к замене машинами ручного труда могут быть более правильными, если вместо технического показателя эффективности будет использоваться экономический критерий, например вместо чел.-час/ц использовать себестоимость - руб/ц. Управляемыми переменными (xi) могут быть такие величины, как размер и продолжительность производственных циклов, число выпускаемых изделий, цена каждого изделия, площадь посевов, размеры поголовья и т.д. Значимость каждой управляемой переменной может быть установлена руководством организации. Среди неуправляемых переменных (xj) могут быть такие как цены, назначенные конкурентами, стоимость сырья, спрос на продукцию, погодные условия.

Может возникнуть необходимость добавления к основной модели ряда выражений, описывающих ограничения, которые налагаются на возможные значения управляемых переменных. Ограничениями могут быть денежные или другие ресурсы,сроки выполнения работ, имеющийся состав технических средств. Эти ограничения выражаются дополнительным набором уравнений или неравенств (т.е. предложений, определяющих отношения "должно быть больше, чем..." или "меньше, чем...").

Внешний вид модели, ее функциональное соотношение (f), определяется выбранным методом моделирования и характером связей. Под характером связей подразумеваются детерминированные и вероятностные процессы, линейные и нелинейные зависимости, дискретные (целочисленные) и непрерывные параметры. Использование математических методов при моделировании зависит от характера решаемых задач: методы программирования - линейное, нелинейное, целочисленное; теория графов; комбинаторика; теория массового обслуживания; теория игр, имитационное моделирование, корреляционный и регрессионный анализ и т.д. Для решения одной и той же задачи в принципе могут быть использо-ваны различные методы - однако для большинства типов задач определены наиболее эффективные математические методы получения их решения.

2. Постановка различных классов задач

Для целого ряда практических задач разработаны общие подходы и модели для получения количественных решений. Это стало возможным вследствие того, что по своей форме многие задачи тождественны, причем, задачи одного и того же класса возникают в самых различных отраслях. Помимо этого, каждый класс задач объединяет одинаковый вид математической модели для их описания (своего рода штампы).

В настоящее время наибольшее распространение получили модели для следующих классов задач: массовое обслуживание; управление запасами; износ и замена оборудования; распределение; составление расписаний и календарное планирование; конфликтные ситуации.

Первый класс задач исследуется в теории массового обслуживания. Здесь изучаются статистические закономерности в массовых операциях, состоящих из большого числа однородных элементарных операций. В системах массового обслуживания, в которых заявки на элементарные операции приходят в случайные моменты времени или обслуживаются в течение случайных промежутков времени, появление очередей - неизбежное зло. При большом числе каналов обслуживания система терпит ущерб из-за возможных простоев каналов. При малом числе каналов ущерб системе определяется накапливающимися очередями. В теории массового обслуживания изучается входящий поток заявок и оценивается качество системы обслуживания (в частности, их пропускной способности) при различных правилах формирования очередей.

Теория управления запасами разрабатывает методы вычисления уровня производства или заготовок, обеспечивающего наиболее экономным путем удовлетворение будущего (не всегда определенного спроса. Анализ моделей управления запасами сводится к установлению последовательности процедур снабжения и пополнения запасов, при которой обеспечиваются минимальные суммарные затраты, связанные с заготовками и хранением продукта и убытками из-за неудовлетворенного спроса. Чрезмерно большой запас связан с омертвлением капиталов, лишает необходимого сырья или оборудования другие структуры корпорации, требует значительных затрат на хранение и уход за ним. С другой стороны, недостаточный запас вызывает перебои в работе производства, нарушает взятые обязательства и грозит различными экономическими санкциями.

Определение эффективного уровня запаса чаше всего сводится к выбору оптимального момента заказа и оптимальных объемов пополнения (т.н. размеров экономичных партий или серий). Т.е., для различных условий работы предприятия, банка, склада, магазина и т.п. теория управления запасами устанавливает, когда и в каком количестве выгодно приобретать те или иные ресурсы.

Задачи и модели, связанные с изменением состояния оборудования, его ценности и затрат на поддержание работоспособности, с установлением оптимальных графиков ремонта и замены оборудования является предметом раздела ИО, называемого теорией износа и замены. Основные задачи этого раздела - выбор наиболее эффективного при заданных условиях оборудования, вычисление оптимального графика ремонта и замены оборудования из-за физического или морального износа, оценка качества оборудования по допустимым условиям его использования, по сроку службы, по затратам на эксплуатацию, профилактику и ремонт.

Модели распределения используются для планирования множества операций, требующих одни и те же ресурсы и одно и то же оборудование. Предполагается, что каждая операция может быть выполнена многими способами, но для выполнения каждой операции наиболее подходящим путем не хватает ресурсов и оборудования. Задача заключается в том, чтобы, используя ограниченные мощности и наличные материалы, выполнить все работы оптимальным образом.

Задачи распределения в общем виде можно разделить на два следующих вида: а) Задан объем работ. Имеются определенные ресурсы, т.е. фиксированные производственные мощности и количество материалов. Необходимо найти такой вариант использования ресурсов, который обеспечит минимальные затраты на выполнение заданных работ;

б) заданы определенные материалы и оборудование (ресурсы). Необходимо определить, какая работа дает максимальную прибыль при использовании этих ресурсов.

К задачам распределения относятся следующие типы задач.

ЗАДАЧА О КОМПЛЕКСНОМ ИСПОЛЬЗОВАНИИ СЫРЬЯ. Исходное сырье или материал может перерабатываться различными технологическими способами. В каждом случае получается в различном сочетании несколько видов продукции. Требуется найти план переработки, при котором заданные объемы конечной продукции получались бы с наименьшими затратами исходных материалов.

Одним из распространенных примеров применения этого типа задач является оптимальный раскрой материалов.

ЗАДАЧА О СМЕСЯХ (о диете). Имеются некоторые исходные продукты. Каждый продукт имеет свое количественное сочетание полезных свойств (калории, витамины и т.д.). Требуется подобрать такие смеси из исходных продуктов, чтобы они обеспечили заданный состав компонентов с минимальной стоимостью. Эта типичная задача составления кормовых рационов в животноводстве.

ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА. Известны стоимости перевозки и хранения однородных грузов. Требуется минимизировать транспортные издержки на перевозку грузов из разных пунктов производства (хранения) в несколько пунктов потребления. Например, составить план вывоза навоза из расположенных в разных местах четырех ферм на 10 полей с наименьшими затратами. Операции составления расписаний и календарного планирования связаны с упорядочением во времени использования фиксированной системы машин с известными характеристиками для обработки некоторого множества изделий. При этом должна быть удовлетворена определенная система технологических условий и обеспечено достижение оптимального значения некоторого показателя качества. Чаще других используются следующие показатели качества: а) суммарное время простоя всех машин; б) суммарные издержки на обработку серии изделий; в) число комплектов изделий, обработанных на заданное время. Технологические ограничения выделяют допустимые последовательности обработки каждой детали на различных машинах.

Теория игр - теория математических моделей принятия оптимальных решений в условиях конфликта или неопределенности. При этом конфликт не обязательно должен пониматься как антагонистический; в качестве конфликта можно рассматривать любое разногласие. Понятие неопределенности и его связь с конфликтом можно рассмотреть на следующем примере. Пусть требуется принять решение о выпуске на рынок некоторого товара. Может случиться, что объем спроса на этот товар известен точно; может быть, что известно лишь статистическое распределение возможных значений объемов спроса; наконец, может оказаться, что известны лишь границы, в которых заключен спрос, но никаких даже вероятностных соображений о его предстоящих значениях нет. Именно этот третий случай квалифицируется как неопределенность. Такая неопределенность может возникнуть, когда спрос (например, на сезонный товар) зависит от метеорологических условий ("конфликт против природы") или, в условиях рынка, от деятельности конкурента, удовлетворившего часть спроса. Всякая теоретико-игровая модель должна отражать, кто и как конфликтует, а также, кто и в какой форме заинтересован в том или ином исходе конфликта. Содержание математической теории игр состоит в установлении принципов оптимального поведения участвующих в конфликте лиц.

3. Проблемы применения математических моделей

Применяя модели, ученый заменяет реальный объект его идеализированной копией, что автоматически приводит к искажениям реального объекта или ситуации. Уровень информационного разнообразия модели значительно ниже, чем у реального объекта. Рассмотрим природу этих искажений и степень их влияния на ценность полученных на моделях результатов.

В исследованиях физических объектов искажения в основном связаны с погрешностью измерений. Специфика исследования проблем заключается в том, что они сами являются нематериальными объектами, и их реальное содержание может быть искажено уже на первом этапе исследований - постановке проблемы (создания ее концептуальной модели) при котором неверно могут быть описаны как существующее, так и желаемое состояние системы.

На втором этапе исследований - разработке математической модели происходит свертка, ограничение полученной информации в форме, удобной для дальнейшего исследования, но далеко не всегда эта форма оказывается наиболее адекватной объекту исследования. Ограничение разнообразия исходной информации при математическом моделировании происходит вследствие трех ограничений, имманентных этому методу, - ограниченности математического языка, метода моделирования и собственно модели.

Однозначность математического языка является одновременно и "плюсом" и "минусом". Достоинство в том, что это не допускает ошибок, но это же свойство ограничивает возможность достаточно полного описания объекта. Как показали исследования: с повышением информации в модели эвристическая функция моделирования растет не прямо пропорционально количеству учтенной информации, а по экстремальному закону, т.е. эффективность моделирования растет лишь до определенного предела, после которого она падает. Иными словами, использование математики гарантирует точность, но не правильность получаемого решения.

В исследованиях физических объектов, информационная сложность которых вследствие определяющих их однозначно выраженных причинно-следственных связей относительно невысокая, уровень потерь и искажения информации будут значительно ниже, чем при исследовании социально-экономических объектов, четкое описание элементов и связей которых не даст ни один "микроскоп". Ограниченность математического языка лежит в основе теории о неполноте формальных систем К. Геделя и принцип внешнего дополнения Ст. Бира и ее уровень, естественно, во многом носит исторический, а не абсолютный характер. По мере развития математики возможности ее будут расти в тоже время значительно отставая от роста сложности исследуемых объектов.

Практически неограниченный диапазон применения математических методов создает впечатление их универсальных возможностей. ("Данный процесс описывает модель Y = f(xi, xj)" - какая тут может быть неадекватность!?) И основным подтверждением этого чаще всего выступает взаимная аргументация этих двух характеристик, а не эффективность или хотя бы какое-то практическое использование результатов моделирования. Как любое специальное средство, конкретный метод накладывает свои ограничения на обрабатываемую информацию: выделяет одни аспекты, не передает или искажает другие, тем самым приводит к искажению описываемой с его помощью реальной ситуации в целом. Всякого рода математические изощрения в попытках более точно описать ситуацию чаще всего приводят к новым искажениям. Ст. Бир, в частности, указывает на ошибки разделения и объединения при использовании методов программирования. Одни и те же формулы (модели) используются для обоснования мощности осветительных устройств для квартиры и железнодорожной станции, так же и формализация задачи оптимизации деятельности предприятия, а то и целой отрасли отличается от задачи об оптимальном раскрое заготовки в основном только количеством переменных и уравнений. Однако в первом случае следствием такого "раскроя" будет механический разрыв огромного количества связей, сложность и неопределенность взаимодействий которых еще не всегда доступны достаточно точному описанию языком современной математики.

Задача, осуществление которой в конечном итоге обеспечивают оптимизационные методы, будь то математическое программирование или регрессионный анализ, сводится к поиску, хотя и не тривиального, вследствие многообразия возможных вариантов, но в то же время и не принципиально нового результата, так как поиск проходит в диапазоне, границы которого определяются знаниями ученого об исследуемом процессе. В случае постановки инженерных задач для технических или простых социально-экономических объектов, позволяющих дать их полное формальное описание, достаточность и эффективность оптимизационных методов не вызывает сомнения. По мере сложности объектов исследований реальные возможности оптимизационных моделей снижаются.

Структура того или иного "типичного" вида моделей накладывает еще более жесткие ограничения на возможности представления необходимого уровня разнообразия в описание исследуемого объекта. Есть рекомендации, согласно которым надо начинать исследование с выбора вида модели, а потом уже проводить постановку задачи исследований таким образом, чтобы ее легче было "вписать" в выбранную модель. Такой подход облегчает построение модели, но эффективным его можно назвать только когда целью исследований является именно построение математической модели (реализация возможности), а не получение решения проблемы. Последующие, аналогичные по своей природы искажения и потери информации вызываются ограничениями алгоритмов и языков (среды) программирования, возможностями ЭВМ.

Таким образом, можно сказать, что хотя все процедуры, связанные с построением математической модели логически обоснованы, но они не содержат никаких методологических свойств, гарантирующих адекватность полученного на модели результата реальной проблеме. Этот результат может быть оптимальным только для того весьма упрощенного и искаженного образа реального объекта, который представляет собой математическая модель после нескольких "трансформаций" реальности, проведенных с помощью средств, уровень разнообразия и точность которых еще значительно отстает от сложности реальных ситуаций.

После обоснования вида и структуры адекватность и, соответственно, эффективность решения, полученного с помощью математической модели, связаны с качеством исходной информации, на основании которой вычисляются, например, элементы матрицы условий задачи математического программирования или коэффициентов уравнения регрессии. Характер искажений здесь во многом зависит от метода моделирования. Для линейного программирования ошибки данного этапа уже мало связаны с исследуемым объектом и, в основном, возникают из-за невнимательности разработчика: неправильно взяты производительность или нормы расхода материала и т.д. Такого рода ошибки обычно обнаруживаются в работе с моделью и легко исправляются. Более сложная ситуация складывается при использовании регрессионного анализа. ("Ложь, наглая ложь и статистика".)

Одним из основных показателей "надежности" статистической модели является оценка ее адекватности по коэффициенту Фишера. Но этот показатель можно рассчитать, если данные получены в нескольких повторностях активного эксперимента. В условиях социально-экономических объектов реальны только "пассивные" эксперименты в одной повторности и эту оценку получить нельзя. Поэтому в качестве оценок надежности статистических моделей социально-экономических процессов выступают коэффициент множественной корреляции и ошибка аппроксимации. Однако высокое значение первого и низкая второго показателя еще не позволяют однозначно судить о качестве регрессионной модели. Объясняется это тем, что с увеличением числа членов полинома модели (а внешне это число ограничивается только числом опытов (наблюдений)), вследствие количественного роста ее разнообразия, точность аппроксимации исходных данных уравнением регрессии растет. Как показали численные эксперименты с "данными", источником которых выступала таблица случайных чисел, когда число членов уравнения регрессии - "факторов" - приближается к десяти, коэффициент множественной корреляции стремиться к 1, а ошибка аппроксимации - к 0.

Проблема сведения математической модели к "приемлемым" размерам, соответствующим техническим возможностям вычислительной техники, может вступить в противоречие с требованиями системного рассмотрения объекта, при котором возникает необходимость расширять круг исследований с выявлением новых факторов и связей, составляющих реальную проблему. Свои ограничения и искажения накладывает и типизация, подгонка задачи к конкретному классу - размещения, выбор маршрутов и т.д. Узкая направленность, типизация разработок их математических аспектов не позволяют рассматривать все то многообразие реальных факторов и связей, в котором обычно формируется и существует та или иная задача из этих классов. Поэтому так же, как и в случае классификации математических методов, результат, полученный для конкретного класса, оказывается эффективным только в тех идеализированных условиях, в рамках которых разрабатывается теория этих классов задач.

В заключении можно процитировать двух ученых, достаточно хорошо знающих и реальные проблемы и возможности математики для их решения. Академик Л.С. Понтрягин: "- можно встретить, например, так называемые экономико-математические работы, насыщенные сложной математической символикой, но не содержащие ни одного конкретного, численного примера - непонятные, недоступные и фактически ненужные экономистам, а с точки зрения математиков - представляющие ничтожную ценность либо вообще не обладающие ею". Американский экономист В.В. Леонтьев: "Некритический энтузиазм по поводу использования математического аппарата часто ведет к тому, что за представительным видом алгебраических знаков скрывается эфемерное содержание".